(no subject)

[nomen_nescio]

По наводке того же учебника удосужился наконец разобраться с геометрическиими Тосафот в Сука 8а. Там они интересным образом вычисляют площадь круга. Тосафисты разделяют круг диаметром в ладонь на концентрические круги. Потом они проделывают разрез от окружности до центра, что позволяет им извлечь эти круги, выпрямить и положить один на другой в виде полос. Очевидно, что внешняя «полоса» окажется самой длинной, а все другие будут последовательно сокращаться в длине. Эти полосы, положенные одна на другую, образуют треугольник. Поскольку число полос стремится к бесконечности, толщина каждой полосы стремится к нулю. Стороны треугольника становятся все более сглаженными, его основание – наиболее длинная полоса, длина которой равна длине окружности данного круга - 3 ладони (они принимают "пи", равное трём). Полоса, наиболее близкая к центру окружности, имеет нулевую длину и является вершиной треугольника. Высота треугольника эквивалентна длине разреза от окружности к центру – это радиус, пол-ладони. Площадь треугольника равна площади исходного круга и рассчитывается по формуле: ½ основания умножить на высоту = ½ х2х3х пол-ладони х пол-ладони = три четверти квадратной ладони. Так доказывается правота талмудического высказывания: "площадь вписанного круга равна трём четвертям площади квадрата, в который он вписан".
Повторяю, всё это при "пи", равном трём, но на красоту выкладок это не влияет. Вообще говоря, это вводит понятия бесконечно малой и предела. Я не силён в истории математики. Где они этому научились?

Comments

[shenbuv.livejournal.com]

Ни черта не понятно, но впечатляет.

[nomen-nescio.livejournal.com]

Посмотри картинку в гемаре на Сукка 8а: http://e-daf.com/index.asp

[shenbuv.livejournal.com]

А есть такой "даф йоми" со Штейнзальцем? По-арамейски не разумею, а учить хотелось бы...

[volnij-hudoznik.livejournal.com]

здорово.
Только вы запись исправьте, а то как у Вас записано , получается половина умножить на 2 умножить на 3, так это 3
а вообще вот:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB#.D0.98.D1.81.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.8F

[nomen-nescio.livejournal.com]

Половина на два на три на пол-ладони на пол-ладони - три четверти квадратной ладони. Верно.

[volnij-hudoznik.livejournal.com]

8(
формула площади треугольника 1/2 основания умножить на высоту.
Основание (при пи=3) 3 ладони
высота - 1/2 ладони
подставляем:
(1/2)*(1/2)*3
или 3/(2*2)
а если писать как у вас (без скобок) в посте, то получается конечно 3/4 квадратн.ладони, но формула перевирается безбожно.
Первые интегрирования были введены египтянами, от них метод перешел к грекам и далее в Рим, а оттуда пришел в Европу - вместе с прочей греческой философией. Вас же не удивляет, что Рамбам читал труды Аристо? А Архимед, который тоже применял метод исчерпания, был известен в средневековой Европе не меньше.

[volnij-hudoznik.livejournal.com]

я извиняюсь, я математик и программист-недоучка, если вижу запись формулы символами, то слова уже не читаю, а у Вас запись смешанная, в общем, неграмотно. Ну и формула - (1/2)*2*3*(1/2)*(1/2) это совсем не то, что Вы же сами написали словами: "рассчитывается по формуле: ½ основания умножить на высоту"
еще раз, слиха :(

[nomen-nescio.livejournal.com]

Ага! Евдокс и Архимед, значит. О них они могли слышать в своей северной Франции.

[shperk.livejournal.com]

Здорово!
Где они этому научились я, вестимо, не знаю, но - красибо безумно!
Кстати, по поводу числа пи, равного трем. Недавно в синагоге читал лекцию про квадратуру круга (ну, про "Море Соломона" и прочий ширпотреб), и нарыл кучу материалов. Так вот, по поводу того, надо ли считать пи с более высокой точностью - замечательная статья из "Науки и жизни". Ошибочная точность

[nomen-nescio.livejournal.com]

Замечательная статья.
А про "где научились" уже ответили выше, посоветовав посмотреть в Википедии. Евдокс и Архимед.

[levimem.livejournal.com]

0,14 от числа пи это 4,4% точности.
Точность измерения шнуром, скажем бочки метрового обхвата дает нам ошибку около 2 см на концах измерения, плюс ошибку приблизительно в 2 см на точости проложения шнура по нормали самого большого меридиана, плюс около см. на растяжении шнура. Короче никак не лучше 5%.

Раши в конце 4 перека Эрувин утверждает, что точность измерения тхум Шаббат 2 ладони с четвертью на каждые 50 локтей, то есть 0.75%. При этом он не принимает во внимание провисание шнура, неровности почвы и т.д. и т.п. Хорошо если получится 5%, хотя я и в них не верю, особенно если учесть способы промеров оврагов и гор (там же мишна 5:4).

Эта запредельная точность пи - классическая лажа, кроме крйне сорвременных случаев, когда мы таки да вынуждены орудовать с запредельной точностью.

А во-вторых. Есть очень смешной момент. При строительных расчетах, мы как правило считаем площадь опоры. Исходя из площади мы определяем диаметр колоны. Так вот, при пи равном 3, а не 3,14, при вычислении диаметра мы получим большую величину, то есть площадь опоры только увеличится, что сделает здание только крепче. Хотя это тоже лажа, учитывая, что они строили с многкратными допусками, або хорошо сопромат не знали.

[vodianoj.livejournal.com]

Ошибка уже в самом начале рассуждения: дело в том, что полосы выпрямить невозможно не порвав бумагу, т.е. треугольник они образуют тоже с натяжкой. Соответсвенно всё дальнейшие подсчёты не интересны.

Ok

[http://users.livejournal.com/grisha_/]

Вы знаете же, что евреи очень хитрые. Я читаю в рассуждении: Число полос бесконечно, а их ширина ноль. Где ошибка?

Re: Ok

[levimem.livejournal.com]

Рассуждение, как раз безукоризненное.
Заменим круг на много концентрических ободов данной ширины. Длина окружности каждого следующего обода будет отличаться от предыдущего только на ПИ*ширина полосы. Площадь каждого обода примем за его ширину, умноженную на окружность. После чего устремим ширину обода к нулю. В результате мы получим арифметическую пргрессию. Если теперь уложить все эти полосы треугольником, то таки да получится площадь круга.

А замечание о "не порвав бумагу" неправильное. Потому что сами авторы рассуждения эти полосы режут ножницами.

Re: Ok

[vodianoj.livejournal.com]

Ну - это как раз момент не страшный. Просто по мере увеличения колличества полос (которые автор должен разумеется распрямить, чтобы уложить треугольником, чего сделать, к сожалению, нельзя) их площадь будет приближаться к площади треугольника с основанием 2ПиАр и высотой Ар.
Это выражение было бы бессмысленными, если бы способ дробления не был бы описан, а так легитимно.

по современным меркам нестрогое

[lkitross.livejournal.com]

доказательство по современным меркам нестрогое, так как при любом спрямлении полосок совершается небольшая ошибка, а полосок много...Так что неочевидно, что получится. На это указывал ещё раввин Яир Бахрах в книге "Хавват Яир", а за ним и Хатам Софер.

Спасибо развлекли

[http://users.livejournal.com/grisha_/]

Только теперь у меня галахическая проблема. Если наши мудрецы сказали, что пи равно трем, значит мы должны в своих практических вычислениях считать пи = 3?
С другой стороны, они просто не указали знаков после запятой, т.е. взять пи как 3,141592654 не запрещается, это же тоже три?

Re: Спасибо развлекли

[nomen-nescio.livejournal.com]

Ещё гаоны запретили лечить, следуя медицинским советам из Талмуда: им, дескать, помогало, а нам - уже нет. Вы наверняка видели эти советы.
То же можно сказать и о талмудической геометрии.

какие все доверчивые, когда им это выгодно!

[uri-superfin.livejournal.com]

http://nomen-nescio.livejournal.com/567374.html?thread=3096910#t3096910

Re: Спасибо развлекли

[levimem.livejournal.com]

«То, что имеет в обхвате три ладони, имеет диаметр ладонь» (Мишна, Эрувин 1:5)

Рамбам (там): Тебе следует занть, что отношение диаметра окружности к его периметру неизвестно, и его никак невозможно выразить точно. И это не отсутствие наших знаний, как полагают дураки, но такова его природа: непостижимо и не реально постичь (то есть число ПИ иррационально). Но его можно оценить приблизительно, что и сделали геометры, то есть они оценили приблизительное отношение периметра окружности к диаметру с доказательством того. Ученые люди принимают округление в три и одну седьмую (Архимед, да?)...
Так как это (число) в точности не представимо, разве что приблизительно, то они (мудрецы Мишны) приняли округление в большую сторону (так как расчет идет от периметра к диаметру, то в результате реальный диаметр меньше ладони), сказав, что если в обхвате есть три ладони, то в диаметре есть одна ладонь. И они были удовлетворены этим во всех расчетах, необходимых им по всей Торе.

Нельзя не удовлетвориться, что заявление об иррациональности ПИ предшествует Ламберту на четыре века.

независимо от точного значения Pi!

[lkitross.livejournal.com]

К дискуссии здесь: удосужился наконец разобраться с геометрическиими Тосафот в Сука 8а. Там они интересным образом вычисляют площадь круга. Тосафисты разделяют круг диаметром в ладонь на концентрические круги.
Вот здесь математик Боаз Цабан поместил мультипликацию, как это делается. Нет ничего лучше наблюдения.
Тосафот доказывает следующую теорему: если поделить длину окружности на два и умножить на радиус, получиться площадь круга. Это совершенно верно, независимо от точного значения Pi. В современной записи это L = 2*Pi*R, S = pi*R*R, очевидно, что L*R/2 = S.
Так что проблема вычисления Пи здесь обходится.
Другие дело, что доказательство по современным меркам нестрогое, так как при любом спрямлении полосок совершается небольшая ошибка, а полосок много. Точнее говоря, в пределе толщина полосок стремится к нулю вместе с ошибкой спрямления, зато число полосок стремится к бесконечности, так как мы режем на бесконечное множество бесконечно тонких полосок.
Так что неочевидно, что получится. На это указывал ещё раввин Яир Бахрах в книге "Хавват Яир", а за ним и Хатам Софер.
Упомянутый математик Цабан привёл точный критерий, когда этот метод применим, и даже дважды, скажем, для вычисления площади сферы. Это и многое другое на сайте математика в Бар-Илане (иврит).
Там же даётся обзор значений числа Пи в еврейской литературе. На русском этот вопрос затрагивался в дискуссии там и приведены разные точки зрения и ссылки, в том числе на Цабана.
Что касается исчисления бесконечно малых, то им, например, гениально пользовался Архимед для определения объёма шара 4/3*Pi*R*R*R (четыре третьих пи эр куб) и другие. В советской Москве некогда в Дом Книги поступила книга на иврите!! Некто Альфонсо из средневековой Испании вычислял длины кривых.
Пи поражает воображение, но если обратить внимание на корень из двух, то ещё Пифагор знал, что его нельзя выразить никакой простой дробью типа М/Н, где М, Н - целые числа. 2000 лет спустя Тосафот всерьёз доказывают, что корень из двух больше чем 1 2/5! Такие числа называются иррациональными. Пи ещё "хуже", его нельзя выразить и с помощью корней, но это доказали значительно позже. Такие числа называются трансцендентными.

Re: независимо от точного значения Pi!

[nomen-nescio.livejournal.com]

Да, книгу Альфонсо я хорошо помню. Единственная книга на иврите в 80-е... Как мы были разочарованы, увидев в ней средневековую математику!

[schasvirnus.livejournal.com]

Порадовали старика!

[juan-gandhi.livejournal.com]

Красивая идея.

Обучение Магии

[(Anonymous)]

Черная Магия http://blackmagic1.com/ - решение проблем в бизнесе и личной жизни. Снятие и наведение порчи, приворот, ритуалы на: бизнес, любовь, возврат супруга, удачу, власть, магическую силу. Амулеты на все случаи жизни. Обучение магии.